点列コンパクトとは～定義・例とコンパクトとの同値性～

点列コンパクトとは？やさしく定義を解説

みなさんは「点列コンパクト」という言葉を聞いたことがありますか？一見、専門的で難しそうに聞こえるかもしれませんが、実は「列（シーケンス）」と「収束」という基本的な考え方に基づいた、とても大切な概念なんです。

私たちが高校や大学で学ぶ数学では、「ある点に近づいていく」という収束の考え方がとても重要になります。そして、その「近づく」という性質が集合全体にどのように影響するかを考えるのが「点列コンパクト」です。

簡単に言うと、どんな点の列（シーケンス）を選んでも、かならず一部には“ある点”に近づく部分列が見つかって、その極限の点が元の集合の中にちゃんと入っているような集合。それが「点列コンパクトな集合」です。

数学的に表すと、次のように定義されます：

任意の点列に対して、ある収束部分列が存在し、その極限が集合内に含まれるとき、その集合は点列コンパクトである。

この定義は、とくに距離空間（ユークリッド空間など）と呼ばれる空間の中で使われることが多いです。

ここで少し補足すると、「収束部分列」というのは元の点列の中からいくつかの点を順番に選んでいくことでできる列で、その列がある点に限りなく近づくという意味です。

たとえば、1, 1/2, 1/3, … のような列（無限小数列）を思い浮かべてください。この列は「0にどんどん近づいていく」ので、収束部分列を持っていて、その極限は0です。

このような考え方が、点列コンパクト性を理解する第一歩になります。怖がらずに、少しずつイメージを膨らませていきましょうね。

なぜ点列コンパクトは重要なの？

点列コンパクト性が数学の中で大切にされているのは、特に「解析学」や「位相空間論」のような分野で収束性や連続性に関する重要な議論に関わってくるからです。これは単なる抽象的な概念にとどまらず、関数の性質を調べたり、最適化の問題を扱ったりするうえでも欠かせない性質なんです。

たとえば、数学では「ある関数が必ず最大値や最小値をとる条件はなにか？」という問いがよく出てきます。これは「最大値定理」と呼ばれる定理に関係していて、その条件のひとつに「定義域が点列コンパクトであること」が含まれます。つまり、集合が点列コンパクトであれば、関数がある程度“いい振る舞い”をすることが保証されやすくなるんです。

また、点列コンパクト性は「連続関数が極限と交換できるか？」といった連続性の議論でも登場します。特に関数のグラフがなめらかにつながるかどうかを調べる際に、点列コンパクト性を使って証明を進めることがあります。

さらに、大学で数学を学ぶ人の多くが直面するトピックとして、「点列コンパクト」と「コンパクト」が同じ意味になる条件や、異なる空間でその性質がどう変わるかという議論があります。たとえば、距離空間ではこの二つが同値になりますが、位相空間ではそうとは限りません。こういった比較や分類は、位相空間論の学習の中でも特に興味深いテーマの一つです。

このように、点列コンパクト性は一見すると抽象的に見えるかもしれませんが、数学的な議論の土台を支えるとても重要な性質です。知っておくと、解析学や応用数学の理解がぐんと深まりますよ。

点列コンパクトの具体例と直感的イメージ

点列コンパクト性をより具体的に理解するには、実際の集合における例を見てみるのがいちばんです。以下では、閉区間や開区間、有界集合などさまざまなケースを取り上げ、直感的にイメージしやすい形で解説していきます。

【例1】[0,1]の閉区間

この区間は、どんな点列を取ってきても、必ずその中に収束する部分列が存在し、しかもその極限が[0,1]の中に含まれます。

たとえば、次のような数列を考えてみましょう： 1, 1/2, 1/3, 1/4, … この数列はどんどん0に近づいていきますね。このような列は「収束列」と呼ばれ、0に収束していきます。

重要なのは、この極限である「0」もちゃんと[0,1]の中に含まれているという点です。どんな点列を取っても、こうした「収束部分列」が見つかり、その極限が集合内にあるため、この[0,1]という集合は点列コンパクトであると言えます。

また、[0,1]の中でランダムに選ばれた点列を考えても、無限にたくさんの点があれば、そのうちのいくつかがだんだん近づいていく、つまり収束していく傾向があることが直感的に感じられると思います。

【例2】(0,1)の開区間

では、今度は[0,1]の閉区間ではなく、(0,1)の開区間を見てみましょう。この集合は一見すると閉区間ととてもよく似ていますが、実は大きな違いがあります。

同じように 1/n の数列を考えてみると、これはやはり0に収束します。しかし、今回はその「0」が集合 (0,1) の中には含まれていません。なぜなら、0はこの集合の“境界”ではあるものの、“中身”ではないからです。

このように、点列が収束しても、その収束先（極限）が集合の外にある場合には、その集合は点列コンパクトとは言えません。ですから、(0,1) は点列コンパクトではないことがわかります。

【例3】有界な集合でもNG？

「集合が有界であれば点列コンパクトなのでは？」と思う方もいらっしゃるかもしれません。でも、実はそれだけでは不十分なのです。

(0,1)のように、値がどんなに大きくなっても1を超えず、小さくなっても0を下回らないような“有界”な集合でも、閉じていなければ点列コンパクトにはなりません。

この“閉じている”という性質がとても重要で、有界かつ閉であるという条件がそろって初めて、点列コンパクトになるというのが距離空間での基本的な考え方になります。

この点をしっかり押さえておくことで、「閉集合であること」と「点列コンパクトであること」の関係性も自然と理解しやすくなるでしょう。

図や数直線などを使って視覚的に確認してみると、これらの違いがよりクリアに見えてくると思います。数式だけでなく、目で見て、手で書いて確かめることも、理解を深める大切なステップです。

点列コンパクト性を判定するには？

点列コンパクト性を正しく理解したら、次は実際に「ある集合が点列コンパクトかどうか」をどうやって見分けるかを考えてみましょう。

以下のようなステップを踏むことで、判断の助けになります：

1. 集合の中から任意の点列（無限個の点の列）を取り出します。
2. その点列の中に、ある点に収束するような「部分列」が存在するかを調べます。
3. そして、その収束先（極限）が、元の集合の中にちゃんと含まれているかを確認します。

この3ステップがすべて満たされれば、その集合は点列コンパクトであるといえます。

たとえば、[0,1]のような閉区間であれば、どんな点列を選んでも、その中に収束する部分列が存在し、その極限も[0,1]の中に入っているので、点列コンパクトです。

反対に、(0,1) のような開区間では、収束部分列が 0 に近づく場合でも、その 0 が集合の中に含まれていないため、点列コンパクトとは言えません。

ここで大切な注意点があります。それは「有界だからといって、必ずしも点列コンパクトになるとは限らない」ということです。有界性だけでは足りず、集合が閉じている（極限点を含んでいる）ことも重要な条件になります。

つまり、点列コンパクト性には『収束先を逃さない』という性質が必要で、そのためには閉集合であることが不可欠なのです。この点をしっかり理解しておくと、今後の解析学や位相空間論の学習がグッとわかりやすくなりますよ。

距離空間では点列コンパクトとコンパクトは同値！

距離空間（例えばユークリッド空間）の世界では、「点列コンパクト」と「コンパクト」が実は同じ意味を持ちます。このことを、「同値である」と表現します。

つまり、ある集合が点列コンパクトであれば、それはコンパクトでもあり、逆にコンパクトであれば点列コンパクトでもあるということです。これは、数学の中でもとても美しく、かつ便利な性質の一つです。

なぜこのような同値関係が成立するのでしょうか？ それは、距離空間という枠組みが、「点列を使った収束の性質」と「開集合を使ったコンパクト性」の両方をうまく結びつけてくれる構造を持っているからです。

たとえば、点列コンパクト性は「どんな点列をとっても収束する部分列がある」ことに注目しています。一方で、コンパクト性は「任意の開被覆に対して有限部分被覆が存在する」という性質です。一見まったく異なる定義のように見えますが、距離空間ではこの2つの性質が驚くほどぴったり一致します。

この一致を裏付けてくれるのが、有名な以下の定理です：

Bolzano–Weierstrassの定理：ユークリッド空間内の任意の有界列には、収束する部分列が存在する。

この定理は、点列コンパクト性の本質を表しており、閉区間などの具体的な集合がコンパクトであることを示す大きな手助けになります。

なお、距離空間というのは「点と点の距離」が定義されている空間であり、例えば実数直線Rやユークリッド空間Rnなどが代表的です。こうした空間では、点の近さや収束の話が非常に自然にできるため、点列と開被覆という一見違う視点から見た「コンパクトさ」が一致するのです。

一方で、距離が定義されていないもっと一般的な位相空間では、この同値性は成り立たないこともあります。ですので、「距離空間においては同値」という前提を忘れないことも大切ですね。

参考：

• 森北出版『集合と位相（松坂和夫 著）』
• 『数学読本（上）』（松坂和夫 著）
• 数学セミナー編集部 編『コンパクトとは何か』（日本評論社）

他のコンパクト性との違いと比較

コンパクト性にはいくつかの種類があり、それぞれ定義が微妙に異なります。以下の表では、代表的なコンパクト性を比較し、それぞれの特徴と例をまとめました。

これらの定義は、空間の性質によって意味合いや扱い方が変わることがあります。特に、「距離空間では点列コンパクトとコンパクトが同値だが、一般の位相空間ではそうとは限らない」といった点を理解しておくと、混乱を避けやすくなります。

また、「相対コンパクト」は集合の部分集合の性質を調べるときに役立つもので、閉包をとるという操作が関わるのが特徴的です。

このように、それぞれのコンパクト性がどう定義され、どのように使われるのかを整理して理解しておくと、より深い数学の学習に繋がっていきますよ。

よくある質問（FAQ）

Q.「点列が収束する」と「部分列が収束する」はどう違うの？ → 点列全体が収束するとは、そのすべての項がある一点にどんどん近づいていくことを意味します。一方で「部分列が収束する」とは、点列の一部だけを取り出した列が収束するという意味です。

点列コンパクトの定義では、「すべての点列」に対して「収束する部分列」が存在すればよいので、点列全体が収束する必要はないのです。つまり、一見バラバラに見える点列でも、その中に規則的な“収束していく流れ”があれば、それが条件を満たすことになります。

Q.「閉集合」と「点列コンパクト」は違うの？ → はい、似ているようで異なる概念です。閉集合とは、その集合の“外側”にある点に近づく点列があっても、その収束先（極限）が必ず集合に含まれるという性質を持っています。

しかし、それだけでは不十分なことがあります。たとえば、閉集合でも「有界」でなければ、収束部分列が集合の外に“無限に飛んで”しまう可能性もあります。

つまり、点列コンパクトであるためには「閉集合」であることに加えて、点列の収束先を逃さないように「集合が有界」であるなどの条件も必要になってくるケースがあるのです。

ですので、「閉集合」と「点列コンパクト」は似ているけれど完全に同じではなく、使い分けが大切です。

【演習問題つき】点列コンパクト性を確かめてみよう

ここでは、実際に点列コンパクト性があるかどうかを確かめる練習をしてみましょう。数学の問題を解くときは、自分なりに「定義に当てはまるかどうか？」をひとつずつ丁寧に見ていくことが大切です。

1. 集合A = {1/n | n=1,2,…} は点列コンパクトですか？
   • この集合は、1, 1/2, 1/3, 1/4, … のようにどんどん小さくなっていく値の集まりです。
   • 収束先は「0」と直感的にわかりますが、この「0」は集合Aの中に含まれているでしょうか？
   • 点列コンパクト性では「収束部分列の極限が集合内に含まれる」ことが重要なので、それを踏まえて考えてみましょう。
2. 区間(0,2]は点列コンパクトですか？
   • この集合は「0を含まず、2を含む」半開区間です。
   • では、点列として 1/n のような列を取ったとき、これは 0 に収束しますが、その極限はこの集合に入っているでしょうか？
   • 逆に、たとえば 2 に近づく点列をとった場合はどうなるかも考えてみましょう。
   • 点列コンパクト性の条件に合致するかどうか、定義に沿って判断してみてください。
3. 集合B = [1,2) は点列コンパクトですか？
   • 今度は「1を含み、2を含まない」半開区間です。
   • 2に収束するような点列、例えば 1.9, 1.99, 1.999, … を考えてみてください。
   • その極限は2ですが、それはこの集合に入っていないですね。
   • では、そのことが点列コンパクト性にどう影響するか、考えてみましょう。
4. 集合C = {(-1)^n + 1/n | n=1,2,…} は点列コンパクトですか？
   • この集合の点列は、1 – 1/n, -1 + 1/n, 1 – 1/2, -1 + 1/2, … のように交互に振動する形になっています。
   • 1と-1に近づいていく部分列が存在しそうですが、それらの極限は集合に含まれているでしょうか？
   • 少し複雑な例ですが、部分列とその収束先を丁寧に調べてみてください。

（回答はこの下にありますので、ご自身で一度考えた後にご確認くださいね）

よく使われる定理・関連知識まとめ

点列コンパクトに関する理解をさらに深めるために、代表的な定理をいくつかご紹介します。これらの定理は、点列コンパクト性の本質や、他の数学的概念とのつながりを理解するうえでとても役立ちます。

• Bolzano–Weierstrassの定理： 実数の閉区間における任意の有界な点列には、収束する部分列が存在することを保証する定理です。この定理は、点列コンパクト性の典型的な例とされ、[0,1] が点列コンパクトであることの根拠としてよく使われます。距離空間において収束性を議論する際の基礎となる重要な定理です。
• Heine-Borelの定理： ユークリッド空間において「閉かつ有界な集合 ⇔ コンパクト」という関係を与える定理です。この結果により、点列コンパクト性やコンパクト性の判定が比較的シンプルになります。特に、点列コンパクト性を直感的に理解するためには、Heine-Borelの定理を知っておくと非常に便利です。
• Tychonoffの定理： これは位相空間論の中でも非常に深い結果で、「任意個（無限個でも可）のコンパクト空間の直積はコンパクトである」とする定理です。特に集合論や公理的手法が関係する話題の中で頻繁に登場します。この定理は、一般の位相空間におけるコンパクト性の奥深さを理解するうえで欠かせない知識です。

これらの定理を組み合わせて考えることで、「点列コンパクト ⇔ コンパクト」の関係や、空間による違い、位相的性質との関連がより明確になります。学びを深める際の道しるべとして、ぜひおさえておきたいポイントです。

まとめ｜点列コンパクト性を理解するためのポイント

• 点列コンパクトとは、どんな点列を取ってきても、必ず収束する部分列が存在し、その極限が集合の中に含まれているという性質のことです。
• 特に距離空間（ユークリッド空間など）においては、点列コンパクトとコンパクトが同値になるという美しい関係があります。これにより、点列に着目した議論と開被覆に着目した議論が一致し、解析学や位相空間論において非常に便利に使われます。
• コンパクト性の他のバリエーション（相対コンパクト、逐点コンパクトなど）とも比較することで、それぞれの意味の違いや使い分けがより明確になります。
• 「閉じていること」や「有界であること」が点列コンパクトと深く関係しているため、図や直感的なイメージで理解を助けるのがポイントです。
• 実例・視覚的図解・演習問題などを通じて学ぶことで、抽象的に見えるこの概念も、より具体的に、そして楽しく理解できるようになります♪

【参考文献・リンク集】

• 松坂和夫『集合・位相入門』（岩波書店）
• 森北出版『数学入門シリーズ：解析入門』
• Wikipedia「点列コンパクト」https://ja.wikipedia.org/wiki/点列コンパクト
• Web数学講義ノート：https://www.math.tohoku.ac.jp/lecture/

【解答例】

1. 集合A = {1/n | n=1,2,…}

• 答え：点列コンパクトではありません。
• 理由：この集合の点列は 1, 1/2, 1/3, … のように 0 に収束しますが、0 はこの集合に含まれていません。よって定義を満たさないため、点列コンパクトではありません。

2. 区間(0,2]

• 答え：点列コンパクトではありません。
• 理由：1/n のような点列は 0 に収束しますが、0 は (0,2] に含まれていないため、収束部分列の極限が集合内にないケースが生じます。

3. 集合B = [1,2)

• 答え：点列コンパクトではありません。
• 理由：点列 1.9, 1.99, 1.999,… は 2 に収束しますが、2 は集合に含まれていないため、点列コンパクトではありません。

4. 集合C = {(-1)^n + 1/n | n=1,2,…}

• 答え：点列コンパクトです。
• 理由：この集合からは 1 – 1/n に収束する部分列（→1）や -1 + 1/n に収束する部分列（→-1）などが取れます。しかも、これらの極限点である 1 と -1 は、それぞれの部分列において極限として現れ、実際に集合の閉包に含まれるため、点列コンパクト性を持ちます（ただし、定義域が明確で閉集合であることが前提です）。